Curvas paramétricas y polares

CURVAS PARAMÉTRICAS Y POLARES

CURVAS PARAMÉTRICAS

Ecuaciones paramétricas de algunas curvas y su representación gráfica

En general, una curva plana se define por dos variables, a saber, x e y. Tal plano se conoce como plano Cartesiano y su ecuación se llama ecuación Cartesiana.

Las ecuaciones paramétricas son aquellas definidas en términos de un solo parámetro, generalmente, este parámetro es ‘t’.

Una curva que represente tal ecuación es llamada curva paramétrica. Para ello, las variables de la ecuación Cartesiana son transformadas con el fin de representar el parámetro ‘t’ como,

x = f(t) y = g(t)

Por ejemplo, una ecuación que represente la caída de una partícula desde una altura x en un tiempo t, se representa generalmente a través de una ecuación Cartesiana, sin embargo esta puede ser presentada a través de una ecuación paramétrica que sea función del tiempo t.

La curva paramétrica es el conjunto de todos los puntos de t que a su vez representan un par (x, y) o (f (t), g (t)).

Trazar una curva paramétrica es ligeramente diferente a trazar una curva plana.

Una curva paramétrica puede ser dibujada de muchas formas diferentes y la más conveniente entre ellas es la selección de ciertos valores de t y obtener los valores correspondientes de f(t) y g(t), es decir, x e y. Entonces estos son después trazados en coordenadas Cartesianas.

Sin embargo, existen problemas importantes asociados con este método, siendo uno que no conocemos los límites del parámetro. Y en ausencia de límite la gráfica se extendería en ambas direcciones hasta el infinito.

En efecto, no existe una solución adecuada a este problema, ya que todo depende completamente del problema dado y la única solución es limitarla uno mismo hasta un valor específico y asumir que esta es la extensión del gráfico.

Otro método para graficar una curva paramétrica es eliminar el parámetro de la ecuación y reducir la ecuación en términos de una ecuación Cartesiana, la cual puede ser graficada con mayor facilidad. De hecho existen varios métodos para hacer esto.

Uno de estos métodos consiste en resolver una de las ecuaciones paramétricas para la variableparamétrica ‘t’.

Reemplace este valor de ‘t’ en la otra ecuación paramétrica y déjela así, esta es una ecuación Cartesiana en términos de x e y.

Sin embargo la técnica anterior no es siempre fructífera, especialmente cuando se trata de funciones trigonométricas, ya que puede convertirla ecuación a una forma más críptica que definitivamente no pueda ser resuelta.

Hacer uso de las identidades trigonométricas definitivamente sería una mejor opción en este escenario.

Asimismo existe una amplia gama de técnicas disponibles, todo dependerá de la función dada, esto seentenderá con más práctica.

Ahora tratemos de resolver un ejemplo que involucre las técnicas descritas anteriormente para arrojar algo de luz sobre los conceptos tratados.

p = 4cos (t) q = 3 sin (t) 0 <= t <= 2

La función dada implica funciones trigonométricas así que tratemos de hacer uso de las identidades trigonométricas para reducirla. p/ 5 = cos (t) q/ 3 = sin (t)

p2/ 25 = cos2 (t) q2/ 9 = sin2 (t)

Podemos hacer uso de la identidad sin2 (t) + cos2 (t) = 1. Entonces,sume las dos ecuaciones para producir una ecuación única como,

p2/ 25 + q2/ 9 = 25cos2 (t)/ 25 + 9sin2 (t)/ 9

p2/ 25 + q2/ 9 = 1

EJEMPLO

•  La curva de ecuaciones paramétricas  para  es una elipse de centro  y semiejes de longitudes . Cuando  se trata de una círcunferencia.

•   La curva de ecuaciones paramétricas   para es la cicloide. Es la curva que describiría una chincheta clavada en una rueda de radio  que avanza girando sin deslizar.

  La curva de ecuaciones paramétricas   para es una cardioide. Es la curva que describe un punto fijo del borde de un círculo que rueda sin deslizar sobre otro del mismo radio.

La ecuación cartesiana de la cardioide es  donde  es un parámetro positivo. Para ver cómo se genera la cardiode ejecuta la siguiente celda

La ecuación cartesiana de la lemniscata es   y se define como el lugar geométrico de los puntos del plano cuyo producto de distancias a dos puntos fijos es constante igual al cuadrado de la semidistancia entre dichos puntos. Observa que, a diferencia de las anteriores, la lemniscata no es una curva simple. 

CURVAS POLARES

Por supuesto que existen muchísimas otras figuras que se forman a partir de las funciones en coordenadas polares, pero para este estudio se ha tratado de presentar las más importantes o comunes, a la vez que se muestra más de un ejemplo para casi todos los tipos de gráfico, de manera que resulte totalmente clara la forma que cada función tendrá al ser graficada en las coordenadas polares.

Se espera que al finalizar la lectura completa de este trabajo, se logre comprender claramente cada figura y se tenga una idea global de los tipos de gráfico que podemos desarrollar mediante funciones en coordenadas polares.

ROSA DE CUATRO HOJAS/PÉTALOS

Este tipo de gráfico se conoce como Rosa de cuatro pétalos. Es fácil ver cómo se forma una figura parecida a una rosa con cuatro pétalos. La función para este gráfico es:

ROSA DE TRES HOJAS/PÉTALOS

Presentamos ahora el gráfico llamado Rosa de tres pétalos. Analógicamente al gráfico de la rosa de cuatro pétalos, este gráfico es parecido pero tiene sólo tres hojas o pétalos en su forma gráfica. Un ejemplo es el siguiente:

ROSA DE OCHO HOJAS/PÉTALOS

El siguiente gráfico es como los dos anteriores, pero ahora con ocho hojas o pétalos, tal como lo vemos en la siguiente función graficada:

UNA ROSA DENTRO DE OTRA

Un caso interesante y especial que se puede dar es el que se muestra en la gráfica que vemos a continuación, donde se aprecia una rosa de tres pétalos precisamente dentro de otra rosa de tres pétalos u hojas. Veamos:

CARDIOIDES

A continuación se presenta el tipo de gráfico que se denomina cardioide. Para este ejemplo se presenta una cardioide simétrica con respecto al eje poplar y que apunta hacia la derecha. Podemos observar que se distingue una figura como de un corazón, razón por la cual se llama este gráfico cardioide. La función que lo ha generado es:

Habiendo visto el primer gráfico de una cardiode, se presenta otro gráfico de este tipo pero ahora apunta hacia arriba, tal como lo vemos a en el gráfico de la siguiente función:

LIMACONES O CARACOLES

Limaçon viene del latín limax que significa caracol. El caracol de Pascal, lo descubrió Etienne Pascal padre de Blaise Pascal en la primera mitad del siglo XVII y el nombre se lo dio  Roberval en 1650 cuando la usó como ejemplo para mostrar su método para trazar tangentes. Un limaçon o las gráficaspolares que generan limaçones son las funciones en coordenadas polares con la forma:

r = 1 + b cos 

Ahora veamos un ejemplo concreto de un gráfico de este tipo, donde se muestra un caracol que apunta hacia la derecha y que tiene un lazo interior. La función para este gráfico es la siguiente:

Veamos otro gráfico de una función que tiene como resultado un caracol con un lazo interior pero que a diferencia del gráfico anterior, este apunta hacia abajo. Veamos:

Continuando con la gráfica de caracoles o limacones, hay otro tipo que es el caracol con hendidura o caracol con concavidad. Como podremos observar, este no tiene lazo, y está dirigido hacia la izquierda. Veamos a continuación el gráfico que resulta, el cual apunta hacia la izquierda:

Ahora se muestra un gráfico igual al anterior con la diferencia que ahora está dirigido hacia la derecha, de modo que tenemos un limaçon o caracol con hendidura o concavidad que está dirigido hacia la derecha:

Antes de terminar el tema de los limacoides o caracoles, veamos otro gráfico diferente a los otros, que es conocido como caracol convexo o caracol ovalado, el cual está apuntando hacia arriba, como lo vemos en el gráfico siguiente:

CIRCUNFERENCIA

Esta nueva función nos presenta una forma conocida por todos y es precisamente la circunferencia, la cual será formada en el gráfico polar mediante la siguiente función:

Ahora veamos una nueva gráfica que resulta en una circunferencia, con la única diferencia que ahora aparece arriba del rayo inicial (o del eje x que todos conocemos), a diferencia del gráfico anterior, que la circunferencia aparecía abajo del radio inicial. La función con su gráfico es esta:

LEMNISCATA

En matemáticas, una leminscata es un tipo de curva descrita por la siguiente ecuación en coordenadas polares:

La representación gráfica de esta ecuación genera una curva similar a . La curva se ha convertido en el símbolo del infinito y es ampliamente utilizada en matemáticas. El símbolo en sí mismo es, a veces, llamado lemniscata. Un ejemplo de esta función con su respectivo gráfico lo apreciamos a continuación:

Tenemos otro ejemplo de lemniscata, pero ahora aparece a lo largo del eje x o en sentido horizontal:

Finalmente se muestra un gráfico como los dos anteriores, donde aparece una lemniscata, con la única diferencia que ahora se muestra en sentido vertical. 

LA NEFROIDE DE FREETH

Esta es una curva muy reciente si hablamos relativamente a las demás. Hay curvas polares que tienen varios siglos de existir, mientras que esta que trataremos en este momento es bastante reciente, pues fue desarrollada por el matemático inglés T.J. Freeth, quien descubrió esta curva en 1879. Un ejemplo se aprecia en este gráfico:

CONCOIDES DE NICÓMENES

Nicómenes nació sobre el año 280 antes de Cristo en Grecia y murió en el año 210 a.C. Se sabe muy poco de su vida pero es famoso por su "Las líneas de la Concoide". Veamos un gráfico en coordenadas polares de la concoide de Nicómenes: